Recensione del libro: Geometria differenziale di Cliff Taubes: fasci, metriche, connessioni e curvatura

La geometria differenziale è la branca della matematica avanzata che probabilmente ha più libri di testo di qualità rispetto a qualsiasi altro. Ha alcuni veri classici che tutti concordano dovrebbero almeno essere sfogliati. Sembra che ultimamente tutti e suo cugino stiano cercando di scrivere The Great American Differential Geometry Textbook. Non è davvero difficile capire perché: l’argomento della geometria differenziale non è solo una delle applicazioni più belle e affascinanti del calcolo e della topologia, è anche una delle più potenti. Il linguaggio delle varietà è il linguaggio naturale della maggior parte degli aspetti di entrambi fisica classica e moderna – né la relatività generale né la fisica delle particelle possono essere espresse correttamente senza i concetti di carte coordinate su varietà differenziabili, gruppi di Lie o fasci di fibre. Non vedevo l’ora di leggere il testo completo basato sulle lezioni di Math 230 di Cliff Taubes per il corso DG per studenti laureati del primo anno ad Harvard, che ha insegnato lì per diversi anni. Un libro di un maestro riconosciuto dell’argomento è da accogliere con favore, poiché si può sperare che portino il punto di vista del loro ricercatore sul materiale.

Bene, il libro è finalmente arrivato e mi dispiace segnalare che è un po’ una delusione. Gli argomenti trattati nel libro sono i soliti sospetti per un corso di laurea magistrale, anche se trattati a un livello un po’ più alto del solito: varietà lisce, gruppi di Lie, fasci vettoriali, metriche su fasci vettoriali, metriche riemannane, geodetiche su varietà riemannane, principale fasci, derivate e connessioni covarianti, olonomia, polinomi di curvatura e classi caratteristiche, tensore di curvatura riemanniano, varietà complesse, sottovarietà olomorfe di una varietà complessa e metriche di Kähler. Il lato positivo è che è scritto MOLTO bene e copre praticamente l’intero panorama attuale della moderna geometria differenziale. . Il professor Taubes fornisce prove dettagliate ma concise dei risultati di base, il che dimostra la sua autorità in materia. Quindi un importo enorme viene coperto in modo molto efficiente ma abbastanza chiaro. Ogni capitolo contiene una bibliografia dettagliata per ulteriori letture, che è uno degli aspetti più interessanti del libro: l’autore commenta altre opere e come queste hanno influenzato la sua presentazione. La sua speranza è chiaramente che ispiri i suoi studenti a leggere le altre opere consigliate in concomitanza con la sua, che mostra eccellenti valori educativi da parte dell’autore. Sfortunatamente, questo approccio è un’arma a doppio taglio poiché va di pari passo con uno dei difetti del libro, di cui parleremo momentaneamente.

Taubes scrive davvero molto bene e arricchisce la sua presentazione con le sue numerose intuizioni. Inoltre, ha molti esempi buoni e ben scelti in ogni sezione, qualcosa che ritengo molto importante. Copre anche materiale sulle varietà complesse e sulla teoria di Hodge, che la maggior parte dei libri di testo per principianti evita a causa delle sottigliezze tecniche di separare gli aspetti geometrici strettamente differenziali da quelli geometrici algebrici. Quindi quello che c’è qui dentro è davvero molto buono. (È interessante notare che Taubes attribuisce la sua influenza per il libro al leggendario corso del compianto Rauol Bott ad Harvard. Così tanti libri di testo e dispense recenti sull’argomento attribuiscono al corso di Bott la loro ispirazione: quello di Loring Tu Un’introduzione ai collettoridispense di Ko Honda alla USCD, di Lawrence Conlon Collettori differenziabili tra i più in vista. È molto umiliante come un insegnante esperto possa definire una materia per una generazione.)

Sfortunatamente, ci sono 3 problemi con il libro che lo rendono un po’ una delusione e hanno tutti a che fare con ciò che è non nel libro. Il primo e più grave problema del libro di Taubes è che non è affatto un libro di testo, è un insieme di appunti di lezione. Esso ha zero esercizi. In effetti, il libro sembra che la Oxford University Press abbia appena preso la versione finale degli appunti online di Taubes e ci abbia schiaffeggiato una copertina. Non che sia necessariamente un cattivo cosa, ovviamente – alcune delle migliori fonti che ci sono sulla geometria differenziale (e sulla matematica avanzata in generale) sono dispense (mi vengono in mente le note classiche di SSChern e John Milnors). Ma per i corsi e qualcosa per cui vuoi pagare un sacco di soldi, vuoi davvero un po’ di più di una semplice serie di appunti stampati che qualcuno potrebbe aver scaricato gratuitamente dal web.

Sono anche molto più difficili da usare come libro di testo poiché devi cercare altrove gli esercizi. Non credo che una serie corrispondente di esercizi dall’autore che ha disegnato il testo mettere alla prova la tua comprensione è davvero chiedere troppo in qualcosa per cui stai spendendo 30-40 dollari, vero? È questa la vera motivazione dietro i riferimenti molto dettagliati e supponenti per ogni capitolo: gli studenti non sono semplicemente incoraggiati a guardare alcuni di questi contemporaneamente, ma necessario per trovare i propri esercizi? Se è così, avrebbe dovuto essere specificato in modo specifico e mostra una certa pigrizia da parte dell’autore. Quando è una serie di appunti di lezione progettati per inquadrare un corso reale in cui l’istruttore è lì per guidare gli studenti attraverso la letteratura per ciò che manca, funziona bene. In effetti, potrebbe rendere il corso ancora più eccitante e produttivo per gli studenti. Ma se stai scrivendo un libro di testo, deve davvero essere completamente autonomo in modo che qualsiasi altro riferimento tu suggerisca, sia rigorosamente opzionale. Ogni corso è diverso e se il libro non contiene i propri esercizi che limitano enormemente la dipendenza del corso dal testo. Sono sicuro che Taubes abbia tutti i set di problemi delle varie sezioni del corso originale – lo farei fortemente incoraggiarlo a includerne una serie sostanziale nella seconda edizione.

Il secondo problema, anche se non è così grave come il primo, è che da un ricercatore con le credenziali di Taubes, ti aspetteresti un po’ più di creatività e intuizione su a cosa servono tutte queste cose buone. OK, certo, questo è un testo per principianti e non puoi andare troppo lontano dal playbook di base o sarà inutile come base per gli studi successivi. Detto questo, un capitolo conclusivo che riassume l’attuale stato di avanzamento della geometria differenziale utilizzando tutti i macchinari che sono stati sviluppati – in particolare nel regno della fisica matematica – aiuterebbe molto a dare al principiante uno sguardo emozionante sull’avanguardia di un importante branca della matematica pura e applicata. A volte divaga in un bel materiale originale che di solito non viene toccato in libri del genere: la metrica di Schwarzchild, per esempio. Ma non fornisce alcuna indicazione sul perché sia ​​importante o il suo ruolo nella relatività generale.

Infine, non ci sono praticamente immagini nel libro. Nessuno. Zero. Nada. OK, ammesso che questo sia un testo di livello universitario e gli studenti laureati dovrebbero davvero disegnare le proprie immagini. Ma per me, una delle cose che rende la geometria differenziale così affascinante è che è un soggetto così visivo e viscerale: si ha la sensazione in un buon corso di DG classico che se fossi abbastanza intelligente, potresti provare praticamente tutto con un’immagine . Dare una presentazione completamente formale e non visiva rimuove molta di quell’eccitazione concettuale e la fa sembrare molto più secca e meno interessante di quanto non sia in realtà. In quella seconda edizione, prenderei in considerazione l’inclusione di alcuni elementi visivi. Non devi aggiungerne molti se sei un purista. Ma alcuni, in particolare nei capitoli sulle classi caratteristiche e sulle sezioni dei fasci di vettori e fibre, chiarirebbero immensamente queste parti.

Quindi il verdetto finale? Una fonte molto solida da cui imparare la DG per la prima volta a livello di laurea, ma dovrà essere ampiamente integrata per colmare le carenze. Fortunatamente, ogni capitolo viene fornito con un’ottima serie di riferimenti. Una buona lettura supplementare ed esercizi possono essere facilmente selezionati da questi. Consiglio vivamente il classico di Guillemin e Pollack Topologia differenziale come lettura preliminare, la “trilogia” di John M.Lee per letture ed esercizi collaterali, il fantastico testo in 2 volumi orientato alla fisica Geometria, topologia e campi di misura di Gregory Naber per le connessioni e le applicazioni alla fisica, oltre a molte buone immagini e calcoli concreti. Per una presentazione più approfondita della geometria differenziale complessa, prova il classico di Wells e il testo più recente Geometria differenziale complessa di Zhang. Con tutto questo per completare Taubes, sarai in ottima forma per un corso di un anno sulla moderna geometria differenziale.

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